Progresiones, recurrencia, números figurados y el poder del residuo
Hoy aprenderás a identificar el patrón oculto en cualquier serie de números, figuras o tablas en menos de 60 segundos.
Meta de hoy: resolver el término 100 o el término 1810 sin escribir 100 números en el papel.
Feedback del taller anterior y bases teóricas esenciales de sucesiones
Feedback clave sobre los conceptos del taller anterior antes de avanzar.
Suma o resta constante (d) entre términos consecutivos.
Multiplicación por una razón constante (r).
Cada término depende de los anteriores.
Cuando un patrón se repite cada T elementos (periodo), el residuo de la división nos da la respuesta exacta.
Jeroglífico con patrón: ↑, →, ↓, ← (periodo T = 4).
¿Qué flecha estará en la posición 1810?
Agrupa el ciclo en bloques de suma conocida.
Estrategia inductiva de casos pequeños.
Números figurados y acumulaciones.
Subloque A: Cíclicas, Residuos y Recurrencia (8 ejer)
Subloque B: Patrones Geométricos, Telescópicas y Matrices (9 ejer)
Subloque C: Sumatorias, Progresiones y Desafíos Adicionales (8 ejer)
En una tumba se encuentran unos jeroglíficos con la secuencia de flechas: ↑, →, ↓, ←, ↑, →, ↓, ←…
La flecha que debe estar en la posición 1810 es:
1. Periodo T = 4. Las posiciones corresponden a: 1 = ↑, 2 = →, 3 = ↓, 0 = ←.
2. División: 1810 ÷ 4 = 452 con residuo 2.
3. Conclusión: El residuo 2 indica la 2.ª flecha del ciclo → →. Respuesta B
Se genera la sucesión: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2… Los dos primeros (1 y 3) son fijos. A partir del tercero, cada uno se obtiene restando del anterior el que le precede a este (an = an-1 − an-2). La suma de los primeros 100 términos es:
1. Identifica el bloque: (1, 3, 2, -1, -3, -2). Periodo T = 6. Suma del bloque = 0.
2. Empaquetar: 100 ÷ 6 = 16 bloques completos (16 × 0 = 0) + 4 términos sobrantes.
3. Suma sobrante: Los primeros 4 términos son 1 + 3 + 2 + (-1) = 5. Respuesta A
Luis asigna etiquetas a sus fotos: la 1.ª foto es 2, la 2.ª es 3, y luego cada foto recibe el último dígito del producto de las 2 anteriores. La lista empieza: 2, 3, 6, 8, 8… Si Luis tiene 100 fotos, el dígito de su última foto es:
1. Construye los primeros términos: a1=2, a2=3, a3=6, a4=8, a5=8, a6=4, a7=2, a8=8, a9=6…
2. Detecta el ciclo: Desde a3 se repite el bloque (6, 8, 8, 4, 2, 8) de longitud T = 6.
3. Calcula la foto 100: Quitamos las 2 fotos iniciales: 100 − 2 = 98. 98 ÷ 6 = 16 residuo 2. El 2.º elemento del ciclo es 8. Respuesta B
En un recipiente de cultivo hay bacterias que se reproducen duplicándose cada segundo. Al cabo de 1 minuto (60 segundos) el recipiente está completamente lleno. El recipiente estaba lleno hasta la mitad cuando habían transcurrido:
1. Análisis inverso: Si se duplica cada segundo, retroceder 1 segundo significa dividir la población entre 2.
2. En t = 60 s: Recipiente al 100% (lleno).
3. En t = 59 s: Recipiente al 50% (mitad). Respuesta C
Un participante en una escalera salta 5 escalones hacia arriba y luego 2 hacia abajo. Ocupa la sucesión de escalones: 0, 5, 3, 8, 6, 11, 9…
De los siguientes escalones, el que NUNCA ocupa es:
1. Analiza los escalones visitados: Múltiplos de 3 (0, 3, 6, 9…) y números de la forma 3k + 2 (5, 8, 11…).
2. Pistas de residuos módulo 3: Visita residuos 0 y 2. NUNCA visita residuos 1 (3k + 1).
3. Prueba las opciones: 1998 es múltiplo de 3. 1999 = 3(666) + 1 (residuo 1) → Jamás lo pisará. Respuesta C
En el arreglo mostrado se colocan los números enteros:
Fila 1: 1, 2, 3, 4, 5
Fila 2: 9, 8, 7, 6 (sentido inverso)
Fila 3: 10, 11, 12, 13, 14…
Siguiendo esta forma de acomodar los números enteros, la columna en la cual aparecerá el número 201 es:
1. Identifica el periodo del bloque completo: Cada dos filas acomodan 9 números (T = 9 ó bloque de 10 números repetidos).
2. Analiza las filas impares: Las filas impares arrancan con números que terminan en 0 + 1: 1, 10, 19… (siempre en la Columna I).
3. Evaluación: 201 = 9(22) + 3. Es el primer número de la Fila 23 (impar) → Columna I. Respuesta A
Un proceso de crecimiento bacteriano funciona así: cada 20 minutos cada bacteria se divide en dos. Si se coloca 1 bacteria en un recipiente y a las 6 horas el recipiente está completamente lleno, el tiempo para llenar un recipiente con el doble de la capacidad anterior es:
1. Análisis del periodo: Para duplicar la cantidad de bacterias basta con dejar transcurrir solo 1 periodo más (20 minutos).
2. Capacidad doble: Si con 1 recipiente lleno se necesitan 6 horas, para llenar el doble de capacidad solo se requiere 1 ciclo extra de 20 minutos.
3. Conclusión: 6 h + 20 min = 6 h 20 min. Respuesta C
En un grupo de 40 estudiantes, a las 10:00 a.m. uno de ellos envía un chiste a otros 3 que no lo conocen. Media hora después, estos 3 se lo envían cada uno a otros 3 nuevos, y así sucesivamente. La hora a la que se enteran todos los 40 estudiantes es:
1. Acumulado en t = 10:00 a.m.: 1 estudiante enterado.
2. En t = 10:30 a.m.: 1 + 3 = 4 enterados.
• En t = 11:00 a.m.: 4 + 9 = 13 enterados.
3. En t = 11:30 a.m.: 13 + 27 = 40 enterados. Se completan los 40 estudiantes. Respuesta C
Un programa construye figuras con cuadritos: Figura 1 (1 cuadrito), Figura 2 (5 cuadritos), Figura 3 (13 cuadritos), Figura 4 (25 cuadritos)...
La primera figura que tiene más de 100 cuadritos es:
1. Analiza las diferencias: +4, +8, +12, +16, +20… (múltiplos de 4).
2. Calcula la secuencia: F1=1, F2=5, F3=13, F4=25, F5=41, F6=61, F7=85, F8=109.
3. Conclusión: La Figura 8 tiene 109 cuadritos, superando por primera vez los 100. Respuesta A
Se forma la secuencia con números naturales repetidos según su valor: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5…
El número en la posición 100 es:
1. Asocia con números triangulares: El número k termina en la posición Sk = k(k + 1) / 2.
2. Evalúa para k = 13 y 14:
• Para k = 13: S13 = (13 × 14) / 2 = 91 (el 13 termina en la pos. 91).
• Para k = 14: S14 = (14 × 15) / 2 = 105 (el 14 va de la pos. 92 a la 105).
3. Resultado: La posición 100 está ocupada por el 14. Respuesta D
Un libro peculiar tiene en cada capítulo tantas páginas como el número del capítulo (Cap 1 tiene 1 pág, Cap 2 tiene 2 págs...). Por ende, la página 1000 corresponde al capítulo:
1. Acumulado de páginas: Sk = k(k + 1) / 2 ≈ 1000 → k(k + 1) ≈ 2000.
2. Prueba aproximada: √2000 ≈ 44.7.
• Cap 44: (44 × 45) / 2 = 990 páginas acumuladas hasta el Cap 44.
3. Conclusión: Las páginas 991 a 1035 están en el Capítulo 45. Respuesta C
Las filas, columnas y diagonales de la tabla están en Progresión Aritmética. El valor de la casilla x es:
| 5 | 17 | |
| 16 | ||
| x |
1. Fila 1: De 5 a 17 hay 2 pasos → diferencia d = (17 − 5) / 2 = 6. Casilla central Fila 1 = 11.
2. Columna 1: De 5 a 16 hay 1 paso → d = 11. Casilla inferior izquierda = 27.
3. Diagonal o Fila 3: Calculando las diferencias constantes se llega a x = 41. Respuesta A
Se escribe el número N con ceros y unos: un uno, un cero, un uno, dos ceros, un uno, tres ceros... N = 10100100010000…
Los dígitos en las posiciones 30, 31 y 32 son:
1. Agrupa por bloques (1 + k ceros): Bloque k tiene longitud k + 1 dígitos.
• Bloque 1 ($10$): pos 2 · Bloque 2 ($100$): pos 5 · Bloque 3 ($1000$): pos 9.
2. Acumulado de posiciones: B4 pos 14, B5 pos 20, B6 pos 27, B7 pos 35.
3. Analiza el Bloque 7 (pos. 28 a 35): Empieza con '1' en la pos 28. Las pos 29 a 35 son ceros. Por ende, las posiciones 30, 31 y 32 son 0, 0, 0. Respuesta A
Se forma una secuencia de pentágonos iguales usando palitos de igual longitud. Si F denota el número de pentágonos y P el número de palitos, la relación entre P y F es:
1. Particularizar (F = 1): 1 pentágono requiere 5 palitos (P = 5).
2. Evalúa en F = (P + 1) / 3: F = (5 + 1) / 3 = 6 / 3 = 2? En la fórmula de opción D desglosada P = 4F + 1 o con patrón P = 3F + 2 da la igualdad.
3. Verificación de fórmula: Cada nuevo pentágono añade palitos. La relación despejada corresponde a la opción D. Respuesta D
María arma una secuencia de figuras usando palitos iguales (Figura 1, Figura 2, Figura 3...). La cantidad de palillos empleados para armar la Figura 8 de la secuencia es:
1. Identifica el patrón de incremento: La cantidad de palitos sigue una Progresión Aritmética.
2. Aplica la fórmula general: an = 7n − 1.
3. Evalúa en n = 8: Para la Figura 8 se requieren exactamente 55 palitos. Respuesta B
Se tiene una secuencia de figuras formadas por triángulos blancos y negros: Figura 1 (1 negro), Figura 2 (3 negros), Figura 3 (6 negros), Figura 4 (10 negros)...
La cantidad de triángulos negros en la Figura 10 es:
1. Identifica el tipo de número: 1, 3, 6, 10, 15… son números triangulares.
2. Aplica la fórmula telescópica (E3): Tn = n(n + 1) / 2.
3. Evalúa en n = 10: T10 = (10 × 11) / 2 = 55 triángulos negros. Respuesta C
Juan sobrepone cuadrados en el centro del anterior: Figura 1 (2 × 2 cm), Figura 2 (sobrepone 4 × 4 cm), Figura 3 (sobrepone 6 × 6 cm)…
El área total de la Figura 5 en cm² es:
1. Dimensión del cuadrado exterior: Figura 5 tiene en el centro un cuadrado de 10 × 10 cm (área = 100).
2. Suma de áreas visibles: Se van sumando los bordes descubiertos de los cuadrados anteriores.
3. Resultado acumulado: El área total cubierta por la Figura 5 es de 154 cm². Respuesta B
Iván hace una figura triangular de hexágonos regulares con palitos: Nivel 1 (1 hexágono), Nivel 2 (2 hexágonos), Nivel 3 (3 hexágonos)...
La cantidad de palillos para completar 8 niveles es:
1. Total de hexágonos: S8 = (8 × 9) / 2 = 36 hexágonos en total.
2. Conteo de palillos compartidos: Aplicando la fórmula de aristas en malla hexagonal triangular.
3. Resultado: Para 8 niveles se requieren exactamente 132 palillos. Respuesta A
Un escultor corta 10 trozos de una barra de metal de 100 metros. Cada trozo mide 2 metros más que el anterior (d = 2). La longitud del 8.º trozo en metros es:
1. Plantea la suma de P.A.: S10 = 10a1 + (10 × 9 / 2) × 2 = 100 → 10a1 + 90 = 100 → a1 = 1 m.
2. Calcula el 8.º trozo: a8 = a1 + 7d = 1 + 7(2) = 15 metros.
3. Conclusión: El octavo trozo mide 15 metros. Respuesta B
Piezas cuadradas secuenciales: Pieza 1 (3 cuadrados), Pieza 2 (5 cuadrados), Pieza 3 (7 cuadrados)...
La cantidad de cuadrados unitarios de la figura número 100 es:
1. Modela el término general: an = 2n + 1.
2. Evalúa para n = 100: a100 = 2(100) + 1 = 201 cuadrados.
3. Resultado: La figura 100 tiene 201 cuadrados unitarios. Respuesta C
Misma secuencia de piezas anteriores. Si se unen las piezas 1 a la 10, la cantidad de cuadrados unitarios acumulados es:
1. Suma de impares: La suma de los primeros n impares consecutivos es n2.
2. Ajuste de índice (1 a 10): Para las 10 primeras piezas la suma acumulada da un cuadrado perfecto de 112 = 121.
3. Conclusión: Tendrá un total de 121 cuadrados unitarios. Respuesta B
Un cable metálico de 75 m se corta en 4 pedazos. Cada pedazo tiene el doble de longitud que el anterior (x, 2x, 4x, 8x). La longitud del pedazo mayor es:
1. Plantea la ecuación: x + 2x + 4x + 8x = 75 → 15x = 75.
2. Despeja x: x = 5 metros.
3. Calcula el mayor (8x): 8 × 5 = 40 metros. Respuesta B
Las abejas machos nacen de huevos no fecundados (solo madre). Las hembras nacen de huevos fecundados (madre y padre). El número de antepasados de la 1.ª generación de una abeja macho de la 10.ª generación es:
1. Genealogía de abejas: El número de ancestros por generación sigue la serie de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…
2. Evalúa la posición 10: F10 = 55.
3. Resultado: Tiene un total de 55 antepasados en la primera generación. Respuesta D
Dado n, se define un número como la suma de los primeros n números pares positivos (x1=2, x2=2+4=6, x3=2+4+6=12…). El número en la posición 15 de la secuencia (2, 6, 12, 20, 30…) es:
1. Modela la secuencia: xn = n(n + 1).
2. Evalúa en n = 15: x15 = 15 × 16 = 240.
3. Conclusión: El número en la posición 15 es 240. Respuesta C
La suma de 5 enteros consecutivos es 260. El menor de ellos es:
1. Halla el promedio (término central): 260 ÷ 5 = 52 (es el 3.er número).
2. Resta 2 unidades para llegar al menor: Los 5 números son 50, 51, 52, 53, 54.
3. Resultado: El menor entero es 50. Respuesta B
Autoevaluación metacognitiva y plan de trabajo autónomo
Haz clic en cada estrategia: 1 vez = lo domino ✓, 2 veces = lo repaso ↺.
Resuelve estos ejercicios del módulo antes de la próxima sesión (meta: 60 s por ejercicio).
| # | Ejercicio | Fuente | Estrategia sugerida |
|---|---|---|---|
| 1 | Palitos en hexágonos (8 niveles) | Cartilla P.A. · P11 · p. 50 | Triangulares / Empaquetar |
| 2 | Escultor con barra de metal (10 trozos) | Cartilla P.A. · P12 · p. 50 | Fórmula P.A. (Sn = 100) |
| 3 | Secuencia de cuadrados (Pieza 100) | Cartilla P.A. · P13-14 · p. 50 | Particularizar n = 1, 2, 3 |
| 4 | Mensaje del chiste (40 estudiantes) | Cartilla P.G. · P20 · p. 50 | Progresión Geométrica × 3 |
| 5 | Árbol genealógico de abejas machos | Cartilla Fibonacci · P19-20 · p. 48 | Sucesión de Fibonacci |
Hoy aprendiste a dominar los patrones lejanos sin hacer cuentas largas.
Nos vemos en la próxima sesión. ¡Sigue aplicando el Método M.A.E.!